バネでつながれた２質点の運動方程式【解答と解説】

一直線上を運動する２つの質点 A1 と A2 がバネでつながれている。
直線上の座標原点から見たときの、
それぞれの質点の位置を x1 、x2 とする。
座標の向きは、右向きを正とし、A1、A2の順に質点が並び、
且つ、バネでつながれているとする。

A1に正の向きに初速度v0を与えたとき、
A1、A2、それぞれの運動方程式を求めよ。

バネ定数：k
バネの自然長：L
質点の質量：m（ A1 、A2 共に質量は m とする。）

A1、A2 の運動方程式
【解答】
A1

A2

【解説】
バネは自然長からのずれの長さの分、力が発生する。
伸びている場合は縮む方向へ、
縮んでいる場合は伸びる方向へ、力を及ぼす。

この問の場合は、自然長の長さからのずれは

で表される。

よって、フックの法則より、

の形になることは分かるだろう。

ただ、A1 と A2 が共にこのような力を受けると、
バネが振動しながら、進んで行くという、
おなじみの運動は起こらない。

そこで、
A1 と A2 にかかる力の正負を逆にしてみてはどうだろうか？


まず、仮に、バネが縮んでいる状態を考える。（Lー(x2ーx1)＞０）
このときに、質点A1、A2にかかる力が、
正、負、どちらに向いているかで、
＋ーをつけるという手法で解く。



A1の場合
バネが縮んでいるとき、A1にかかる力は左向き（負の向き）である。
よって、A1にかかる力をF1とすると、
F1が負になるようにすればよい。

今、バネが縮んでいる場合を考えているので、下線の部分は正。

じゃあ、F1が負になるためには、
単純に「ー」を付ければよい。

よって、

A2の場合
同様にして、
バネが縮んでいる場合を考えたとき、
A2にかかる力は右向き（正の向き）である。
よって、A2にかかる力をF2とすると、
F2が正になるようにすればよい。

今、バネが縮んでいる場合を考えているので、下線の部分は正。

じゃあ、F2が正になるためには、
単純に「＋」を付ければよい。
「＋」は省略するのが常なので、

となる。


これで、
A1、A2にかかる力、F1、F2が分かったので、
運動方程式が

A1

A2

となることが分かった。

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